Probabilités conditionnelles et indépendance

1) Couleurs des aurores

Les photos travaillées proviennent de plusieurs endroits et nous ne présentons ici qu'une estimation soignée d'après les mesures effectuées sur les photos.

Ainsi les hypothèses et les calculs formulés plus loin se basent sur ces photos, nous supposerons qu'elles traduisent les manifestations d'aurores polaires en général.

Après plusieurs mesures artisanales, nous nous intéressons à la distribution en fréquence des couleurs du spectre lumineux dans le cadre des aurores.

Nous avons intuitivement distingué ces couleurs :

• Vert : 46,1%

• Orange : 37,3%

• Jaune : 9,1%

• Rouge foncé : 4,4%

• Bleu-violet : 3,1%

Mais les études préfèrent regrouper les couleurs en quatre catégories définies par l'altitude de la collision et les atomes/molécules concerné(e)s.

Nous modifions par ce fait notre classification :

• Vert-Jaune : 55,2%

• Rouge clair (orangé-rouge) : 37,3%

• Rouge foncé : 4,4%

• Bleu-Violet : 3,3%

Nous pouvons faire une représentation graphique du phénomène en raison de la nature qualitative de ses modalités.

 

 

2) Longueurs d'ondes

La classification des longueurs d'ondes ne semblant pas être unanime, nous utiliserons pour ce traitement statistique ces valeurs :

 

La longueur d'onde moyenne observée pour le violet-bleu est λ= 380+520/2 = 450 nm

La longueur d'onde moyenne observée pour le vert-jaune est λ= 520 + 590 /2= 555 nm

La longueur d'onde moyenne observée pour le orangé-rouge est λ= (590 +682,5*)/2 = 636 nm

La longueur d'onde moyenne observée pour le rouge foncé est λ = (682,5+765)/2= 723,75 nm

Représentation graphique : Histogramme et fonction de répartition

Le phénomène observé ou « variable » : « Distribution des longueurs d'ondes moyennes dans une aurore polaire » est une variable continue car elle prend ses modalités dans des intervalles de valeurs, comme par exemple (380-520) pour le violet-bleu.

La représentation idéale, en prenant en compte les amplitudes, est l'histogramme qui va nous donner des densités de fréquences associées à un intervalle de longueur d'ondes.

 

La fonction de répartition des longueurs d'ondes dans une aurore boréale nous indique que :

• la probabilité d'observer une couleur correspondant à une longueur d'ondes comprise entre 380 et 520 nm est de 0,031

• la probabilité d'observer une couleur correspondant à une longueur d'ondes comprise entre 380 et 590 nm est de 0,583

• la probabilité d'observer une couleur correspondant à une longueur d'ondes comprise entre 380 et 682,5 nm est de 0,956

• la probabilité d'observer une couleur correspondant à une longueur d'ondes comprise entre 380 et 765 nm est de 1

3) Probabilités sur les événements

Cas continu

Soit la variable aléatoire X associant la probabilité d'un événement à un intervalle de valeurs. (ici intervalle de longueurs d'ondes)

L'espérance E(X) est la moyenne théorique d'une variable. Elle permet d'évaluer le résultat moyen d'une expérience aléatoire.

=> Quelle longueur d'onde moyenne serait attendue si nous observions une aurore ?

x est une valeur sur l'intervalle dx. Soit f(x) sa densité de probabilité associée.

 

Dans une situation comme celle que nous voulons étudier, la formule de l'espérance d'un cas continu serait adaptée. Mais à notre niveau nous ne pouvons l'exploiter. Nous choisissons donc de l'adapter en un cas discret.

Cas discret : indices de localisation et de dispersion

A notre niveau débutant, nous pouvons considérer la formule de l'espérance et de la variance pour une variable aléatoire discrète en prenant Xi comme centre de l'intervalle dx.

 

Espérance

Soit xi le centre d'un intervalle dx. Soit pi la probabilité associée à cette valeur.

 

E(X)= (450*0,031)+(555*0,552)+(636*0,373)+(724*0,044)

E(X)= 589,394 nm

Variance et écart type

La variance est un indice de dispersion quadratique autour de l'espérance. C'est donc un indice de dispersion.

 

Nous obtenons avec cette formule des résultats exprimés en nm², ce qui n'a pas un grand sens. Pour trouver l'écart type σ il suffit de prendre la racine carrée de la variance.

σx = √V(x)

Le calcul :

V(X)= (450²*0,031)+(555²*0,0552)+(636²*0,373)+(724²*0,044)-(589,394)² = 2862,765

σx = √2862,765 = 53,50 nm

Interprétation :

 

 

 

 

 

Les longueurs d'ondes observées convergent vers une moyenne théorique (l'espérance). Avec les probabilités dont nous disposons, cela correspondrait à une longueur d'onde de 589,394 nm.

Les aurores seront majoritairement observées entre -1 écart type (535,894 nm) et +1 écart type (642,894). Observer des longueurs d'ondes en dehors de cet intervalle est plus rare. Plus on s'éloigne de l'écart type plus la probabilité d'observation est faible.

Probabilités conditionnelles et indépendance sur les couleurs

Soit B: « Observer une aurore violet-bleu » ou « l'aurore observée comporte du violet-bleu »

Soit V: « Observer une aurore vert-jaune » ou « l'aurore observée comporte du vert-jaune »

Soit Rc: « Observer une aurore rouge clair » ou « l'aurore observée comporte du rouge clair »

Soit Rf: « Observer une aurore rouge foncé » ou « l'aurore observée comporte du rouge foncé »

Nous savons que P(B)= 0,031; P(V)= 0,552; P(Rc)= 0,373 et P(Rf)= 0,044

Contexte hétérogène: utilisation des propriétés d'indépendance

Admettons maintenant que toutes les aurores boréales se déroulent comme nous les avons étudiées sur nos photos. Nous voudrions connaître la probabilité que les aurores comportent les combinaisons de couleurs suivantes :

Combien de combinaisons possibles de k éléments parmi n (4 couleurs parmi 4) ?

4^4= 16

Soit Ei l'événement « l'aurore est composée de telle combinaison de couleur »

Calcul de probabilités avec événements indépendants

Le fait d'avoir un événement qui se produise ici ne va rien changer à la probabilité qu'un autre événement se produise également.

Les probabilités d'indépendance nous apprennent que:

Quand deux événements A et B sont indépendants alors P(A ⋂ B) = P(A) x P(B)

Par exemple pour le dernier événement nous cherchons la probabilité qu'il y ai toutes les couleurs présentes dans l'aurore (voir tableau ci-dessous)

alors P(E16) = P(B) x P(V) x P(Rc) x P(Rf) = 0,000281

Mais si nous cherchons la probabilité d’E11 cela implique qu'il y ai du bleu violet, du rouge clair mais pas d'autres couleurs :

P(E11) = P(B) x (1- P(V)) x P(Rc) x (1-P(Rf))

 

Σ P (Ei)=1

Nous pouvons considérer que les événements E10, E12, E14 et E16 ont une probabilité si basse d'avoir lieu qu'elle est nulle.

L'événement E5 « L'aurore observée est strictement Vert-Jaune » est le plus probable.

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